Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral {F(x)} de la función continua {f(x)} es la propia {f(x)}.

{F'(x)=f(x)}

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplo:
Hallar la derivada de
{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

1Notamos que {t=x}, por lo que su diferencial {dt = dx}

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

{F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}

Ejemplo:
Hallar la derivada de
{F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

1Primero cambiamos los límites de integración, ello produce que la integral cambie de signo

{F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt= -\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

2Notamos que {t=x}, por lo que su diferencial {dt = dx}

3Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

{F'(x)=-\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}

Ejemplo:
Hallar la derivada de
{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{2}}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

1Notamos que {t=x^{2}}, por lo que su diferencial {dt = 2x\, dx}

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

{F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x = \displaystyle\frac{2x}{1+x^{4}}}



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