¿Que es una integral definida?

El concepto de la integral definida se entiende por:

Si f es una función definida en el intervalo [a, b]. entonces la integral definida de f de a a b, será denotada por

 

si el límite existe. 

Observe que la oración “la función f es integrable en el intervalo cerrado [a, b]” equivale a la oración “la integral definida de f de a a b existe”.

  

En la notación de la integral definida ,  f(x) es el integrando, a es el límite inferior, y b es el límite superior. 

El símbolo es el signo de integración. El signo de integración se parece a la letra mayúscula S, el cual es apropiado porque la integral definida es el límite de una suma.

El teorema siguiente proporciona condiciones que garantizan el hecho de que una función es integrable en un intervalo cerrado dado.

Teorema: Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es integrable en [a, b].

La condición de que f es continua en [a, b], es suficiente para garantizar que f es integrable en [a, b], mas no es una condición necesaria para la existencia de la integral definida. Este es, una función puede ser integrable en un intervalo cerrado aunque no sea continua en ese intervalo. 

En el estudio de área, en intervalo [a, b] se dividió en n subintervalos de igual longitud. Tal partición del intervalo [a, b] se llama partición regular. Si es la longitud de cada subintervalo de una partición regular, entonces cada , y la norma de la partición es . Al sustituir esto en la funcion principal se obtiene: