Teorema de la media o Valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado ${[a,b]}$ , entonces existe un punto ${c}$ en el interior del intervalo tal que:

${\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, dx=(b-a)\cdot f(c)}$

Ejemplo:

Hallar el valor de ${c}$ del teorema de la media, para la función ${f(x)=3x^{2}}$ en el intervalo ${[-4,-1]}$ .

1Calculamos el resultado de la integral definida

${\displaystyle\int_{-4}^{-1}3x^{2} \, dx= \left. x^{3}\right |_{-4}^{-1}=-1+64=63}$

2Como la función es continua en el intervalo ${[-4,-1]}$ , se puede aplicar el teorema de la media.

${\begin{array}{rcl}63&=&[-1-(-4)]\cdot f(c) \\ && \\ 21 &=& f(c) \end{array}}$

3El valor de ${f(c)=3c^{2}}$ , el cual sustituimos en la igualdad anterior y despejamos ${c}$

${\begin{array}{rcl}21 &=& 3c^{2} \\ && \\ 7 &=& c^{2} \\ && \\ \pm\sqrt{7}&=& c \end{array}}$

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

Integrales Definidas y Algo Mas...